تحويل لابلاس – الدوال الأساسية

تبادل لابلاس حساب الزمن بجبر s. تكامل e⁻ˢᵗ ضد f(t) من صفر إلى ما لا نهاية يحول المكتبة: الثوابت تعبر كما هي L{1} = 1/s؛ والأسيات تزيح القطب L{e²ᵗ} = 1/(s−2)؛ والقوى تهبط عاملياً L{t} = 1/s² وL{t²} = 2/s³؛ والجيوب تعطي مقامات تربيعية L{sin t} = 1/(s²+1) وL{cos t} = s/(s²+1). وتقيّم الحاسبة نمط التكامل لكل صورة مدعومة وتبرهن القواعد التشغيلية: الاشتقاق يصير ضرباً L{f′} = sF(s) − f(0) فتتحول المعادلة التفاضلية إلى جبرية؛ والإزاحة L{eᵃᵗf(t)} = F(s−a)؛ والتأخير L{f(t−c)} = e⁻ˢᶜF(s). والتقارب يشترط s أكبر من معدل النمو — فـ e²ᵗ تلزم s > 2.

1. 1

   اختر صورة الدالة

   1 أو tⁿ أو eᵃᵗ أو sin(bt) أو cos(bt) أو مركبات

2. 2

   اقرأ الزوج

   تُعاد F(s) مع تعويض التكامل

3. 3

   طبّق القواعد

   تُبرهن الإزاحة والتأخير والاشتقاق

4. 4

   افحص التقارب

   يُذكر مدى s الصالح (s > a للأسيات)

• 1

  المشتقات ترمز إلى كثيرات حدود في s: L{f′} = sF(s) − f(0)

• 2

  L{eᵃᵗf} = F(s−a) — العوامل الأسية تزيح مستوى s

• 3

  التقارب يشترط s فوق أس نمو الدالة

• إسقاط حد الشرط البدئي f(0) عند تحويل المشتقات

• كتابة L{eᵃᵗ} كـ 1/(s+a)؛ القطب عند s = a فيعطي 1/(s−a)

• نسيان العاملي: L{t²} = 2/s³ لا 1/s³

• تجاهل شرط s > a للأسيات