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Nombres de Bernoulli – séquence B

Quick answer

B₀=1, B₁=−½, B₂=⅙ et B₄=−1/30 alimentent le développement de tan et les formules Σkⁿ — les B impairs après B₁ sont nuls, fractions exactes.

Figures are estimates from this calculator’s standard formula — adjust the inputs in the tool below for your exact number.

Bernoulli

t/(eᵗ−1) = Σ Bₙtⁿ/n!

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  3. 3

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Cas d'usage

Formules de sommes de puissances

Déduisez Σk² = n(n+1)(2n+1)/6 depuis B₂

Développements en série

Les coefficients de tan x viennent des Bernoulli pairs

Théorie analytique des nombres

ζ(2n) se lie à B₂ₙ

Conseils

  • 1

    Les Bernoulli impairs au-delà de B₁ sont tous nuls

  • 2

    Les signes alternent sur les index pairs : B₄ = −1/30, B₆ = +1/42

  • 3

    Les fractions exactes comptent — B₁₂ = −691/2730 défie l'intuition décimale

Erreurs fréquentes

  • Utiliser B₁ = +1/2 (la « seconde convention ») dans des formules attendant −1/2

  • S'attendre à des termes impairs non nuls après B₁

  • Arrondir en décimal et détruire les délicates annulations des récurrences

  • Oublier que B₀ = 1 ancre toute la suite

FAQ

Premiers nombres de Bernoulli ?

B₀ = 1, B₁ = −1/2, B₂ = 1/6, B₃ = 0, B₄ = −1/30, B₆ = 1/42.

Pourquoi les impairs s’annulent ?

t/(eᵗ−1) + t/2 est paire : coefficients impairs nuls.

Que vaut B₁₂ ?

−691/2730 ≈ −0,2531.

Leur rôle dans les sommes ?

Faulhaber : Σk = n(n+1)/2 vient de B₁, Σk³ = [n(n+1)/2]² de B₂.

Sont-ils rationnels ?

Oui, tous, via la récurrence.

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