استكمال لاغرانج – من النقاط إلى كثيرة الحدود

بمعطى n+1 نقطة بقيم x مميزة يمر بها كثيرة حدود وحيدة من الدرجة ≤ n، وصيغة لاغرانج تكتبها مباشرة كمجموع موزون لأساسيات. كل أساس Lᵢ يساوي 1 عند xᵢ وصفراً عند بقية العقد — للنقاط (1,3) و(2,5) و(4,9): L₁(x) = (x−2)(x−4)/((1−2)(1−4)) = (x−2)(x−4)/3. وعند x = 3 تعطي L₁ = −1/3 وL₂ = 1 وL₃ = 1/3، والجمع yᵢLᵢ(3) = 3(−1/3) + 5(1) + 9(1/3) = 7 — صحيح لأن النقاط على الخط y = 2x+1 (تحقق 2(3)+1 = 7). تحسب الحاسبة كل أساس وترجحه وتجمع وتطبع كثيرة الحدود، وتحذر من ظاهرة رونجه — تذبذب الاستكمال عالي الدرجة عند الأطراف — وتوصي بالشرائح لنقاط كثيرة.

1. 1

   أدخل نقاطك

   قيم x مميزة مع قيم y

2. 2

   ابنِ كل أساس

   تُفكك جداءات Lᵢ(x) رمزياً

3. 3

   رجّح واجمع

   يُركب P(x) = Σ yᵢLᵢ(x)

4. 4

   قيّم في أي مكان

   استكمل عند x هدفك؛ والاستقرار الخارجي يُعلَّم

• 1

  n+1 نقطة تحدد كثيرة حدود وحيدة من الدرجة n

• 2

  الأساس Lᵢ يساوي 1 عند عقده وصفراً عند البقية

• 3

  التباعد المتساوي مع درجة عالية يدعو لتذبذب رونجه

• تكرار قيمة x فينهار مقامات الأساس

• الثقة بالاستقرار البعيد خارج مدى العينة

• استخدام عشرين نقطة لاتجاه خطي — درجة تنفجر بلا داعٍ

• أخطاء إشارة في تركيب الجداءات (x−xⱼ)/(xᵢ−xⱼ)