مجموع القواسم – الدالة σ(n)

دالة القواسم σ(n) تجمع كل قاسم موجب للعدد. للعدد 12: القواسم 1 و2 و3 و4 و6 و12 تجمع إلى σ(12) = 28. والاختصار التحليلي يحسبها دون سرد: 12 = 2²×3 يعطي σ = (1+2+4)(1+3) = 7×4 = 28 بقاعدة المتسلسلة الهندسية σ(pᵃ) = (pᵃ⁺¹−1)/(p−1). والضربية عبر الأجزاء الأولية نسبياً تسمح σ(10) = σ(2)·σ(5) = 3×6 = 18. وتعرض الحاسبة قائمة القواسم بمجموعها الجاري والحساب المفكك والكميات المشتقة: المجموع الفعلي σ(n) − n (يساوي 16 للعدد 12 فيصفه بالوفير) وفحص الكمال σ = 2n (فتحقق σ(28) = 56 ✓). وتذكر أيضاً τ(n) عدد القواسم — فالعدد 12 له ستة — والمربعات عدد قواسمها فردي.

1. 1

   أدخل n

   أي عدد صحيح موجب

2. 2

   اسرد القواسم

   كل قواسم n مع مجموع جارٍ

3. 3

   اختصار التحليل

   يعيد (1+2+4)(1+3) = 28 حساب σ(12)

4. 4

   صنّف

   كامل (σ = 2n) أو وفير (σ > 2n) أو ناقص (σ < 2n)

• 1

  σ(pᵃ) = (pᵃ⁺¹−1)/(p−1) — قاعدة المتسلسلة الهندسية

• 2

  الكامل ⇔ σ(n) = 2n؛ والمجموع الفعلي = σ(n) − n

• 3

  τ(n) يعدّ القواسم؛ والمربعات τ لها فردي

• حذف n نفسه من قائمة القواسم

• ضرب قيم σ لأجزاء غير أولية نسبياً (فكّك أولاً)

• الخلط بين σ والمجموع الفعلي σ − n

• إسقاط العامل (p⁰ = 1) من المتسلسلة الهندسية