ثابت أويلر-ماسكيروني γ

ينمو المجموع التوافقي Hₙ كاللوغاريتم الطبيعي، وتتقارب الفجوة المتبقية إلى γ ≈ 0.5772156649015329. عند n = 100: H₁₀₀ = 5.187378 بينما ln 100 = 4.605170 فالفرق 0.582208 — ضمن 0.005 من γ أصلاً، ويضمحل الخطأ كـ 1/(2n). تحسب الحاسبة Hₙ وln n لقيمتك وتعرض اقتراب الفرق من 0.5772156649، وتسرّع التقارب بالتوسع Hₙ ≈ ln n + γ + 1/(2n) − 1/(12n²) فتبلغ دقة عشرة أرقام قرب n ≈ 10⁶. وخلافاً لـ π وe حالُ γ مفتوحة: لا أحد يعرف أهو نسبي أم لا. والثابت يخترق نظرية الأعداد والتحليل — فدالة غاما تحقق Γ′(1) = −γ والتكامل الأسسي يحمل ln x + γ.

1. 1

   أدخل n

   حد المجموع التوافقي

2. 2

   احسب Hₙ

   يُجمع 1 + ½ + … + 1/n (فالقيمة H₁₀₀ = 5.187378)

3. 3

   اطرح ln n

   الفرق يتقارب نحو γ

4. 4

   طبّق التسريع

   تصقل المراجعة 1/(2n) − 1/(12n²) التقدير

• 1

  γ ≈ 0.5772156649 يقع بين Hₙ وln n + 1

• 2

  الفجوة تتقلص كـ 1/(2n): فمضاعفة n تنصفها

• 3

  نسبيّة γ مسألة مفتوحة

• الخلط بين γ وe ≈ 2.71828 أو النسبة الذهبية φ ≈ 1.618

• توقع بلوغ Hₙ − ln n قيمة γ بالضبط عند n ما

• تجاهل بطء تقارب 1/(2n) والثقة بتقديرات قليلة الأرقام

• خلط الرموز Γ وγ