تقريب ستيرلينغ – تقدير n!

يقدّر تقريب ستيرلينغ المضروب دون ضرب شيء: n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ. عند n = 10: √(62.83) ≈ 7.927 و(10/e)¹⁰ ≈ 4.5400×10⁵ والجداء ≈ 3,598,696 — ضمن 0.83% من الدقيق 3,628,800 مطابقاً حد الخطأ الرئيسي 1/(12n) = 1/120 = 0.83%. والتقريب مقاربي: الخطأ النسبي يتقلص مع نمو n (0.083% عند 100 حيث للقيمة الحقيقية 158 رقماً) بينما تتسع الفجوة المطلقة — فالتقديرات أدنى دائماً دون التصحيح. وتطبع الحاسبة العاملين والتقدير والقيمة الدقيقة عند إمكانها والخطأ النسبي والتصحيح الأول (1 + 1/(12n)) الذي يدفع n = 10 إلى ضمن 0.007%. واستخداماته: لوغاريتمات غاما في الإحصاء وحسابات الإنتروبيا وتقديرات التوافقيات السريعة (52! ≈ 8.06×10⁶⁷).

1. 1

   أدخل n

   أي عدد صحيح موجب — والكبير مرحب به

2. 2

   قيّم العاملين

   يُعرض √(2πn) و(n/e)ⁿ منفصلين

3. 3

   اضرب للتقدير

   3,598,696 عند n = 10

4. 4

   قس الخطأ

   يقارَن الفجوة النسبية بتنبؤ 1/(12n)

• 1

  الخطأ النسبي ≈ 1/(12n): 0.83% عند 10 و0.083% عند 100

• 2

  التقديرات تحت الحقيقة حتى يُطبَّق التصحيح

• 3

  الصورة اللوغاريتمية: ln n! ≈ n ln n − n + ½ln(2πn)

• إسقاط المعامل √(2πn) والاكتفاء بـ (n/e)ⁿ

• توقع تقلص الخطأ المطلق — النسبي فقط يتقلص

• تطبيقه على n صغيرة وتجاهل خطأ يفوق 8% عند n = 1

• الخلط بين e ≈ 2.71828 والعدد 10 في الأساس