المعكوس المعياري – a⁻¹ mod m

المعكوس المعياري للعدد a هو ما يضربه ليعطي واحداً مقام m. بما أن 3×5 = 15 = 2×7+1 نكتب 3⁻¹ ≡ 5 (mod 7)؛ وبالمثل 2⁻¹ ≡ 3 (mod 5) لأن 6 = 5+1. تستخدم الحاسبة إقليدس الموسع وتعرض كل خطوة: للعدد 3 مقام 7 يعيد التركيب 1 = 7 − 2×3 فيكون −2 ≡ 5 هو المعكوس. والوجود ليس مضموناً — يوجد المعكوس فقط عندما gcd(a,m) = 1، فالعدد 4 بلا معكوس مقام 8 (القاسم 4) بينما 3 له معكوس مقام 8 هو 3 نفسه (لأن 9 ≡ 1). والتطبيقات ترسّخ التشفير: أس فك تشفير RSA هو معكوس أس التشفير مقام φ(n).

1. 1

   أدخل a والقاسم m

   مثل 3 و7

2. 2

   افحص الأولية النسبية

   يجب أن يساوي gcd(a,m) واحداً وإلا فلا معكوس

3. 3

   شغّل إقليدس الموسع

   معاملات بيزو تكشف المعكوس

4. 4

   تحقق بالضرب

   يجب أن يختزل a × a⁻¹ mod m إلى 1

• 1

  لا معكوس ما لم يكن gcd(a,m) = 1

• 2

  المعكوس عند وجوده وحيد ضمن 1…m−1

• 3

  معكوسات ذاتية توجد: 3×3 ≡ 1 (mod 8)

• افتراض معكوس لكل عدد — فالعدد 4 يفشل مقام 8

• ترك معامل بيزو سالباً دون إضافة m

• الخلط بين a⁻¹ مقام m وبين 1/a الكسري

• نسيان التحقق النهائي a×a⁻¹ ≡ 1 (mod m)