مثلث سيربنسكي – إحصاءات الكسورية

تزيل كل تكرارة المثلث الأوسط المفتوح من كل مثلث صلب باقٍ تاركة ثلاث نسخ أصغر. بعد n مرحلة يحوي الشكل 3ⁿ مثلثاً صغيراً — المرحلة الثالثة 27 — بطول ضلع 2⁻ⁿ من الأصل. ومفارقة المحيط: كل مرحلة تضاعف عدد الأضلاع ثلاثاً وتنصّف الطول فيكون المعامل 3/2، فينمو المحيط الكلي (3/2)ⁿ بلا حد — 7.59 ضعفاً في المرحلة الخامسة. والمساحة تسير عكسياً: كل مرحلة تحتفظ بثلاثة أرباع المنطقة فتبقى (3/4)ⁿ — أقل من 8% بحلول الثامنة ومتجهة للصفر. والبعد الكسوري log3/log2 ≈ 1.585 بين الخط والمستوى.

1. 1

   اختر المرحلة n

   الصفر المثلث السليم؛ وكل مرحلة تنقر الأوساط

2. 2

   عُدّ القطع

   تُبلغ 3ⁿ مثلثات (27 في المرحلة 3)

3. 3

   تتبع المحيط والمساحة

   معاملا (3/2)ⁿ و(3/4)ⁿ من الأصليين

4. 4

   لاحظ البعد

   log3/log2 ≈ 1.585 — بين بُعدين فعلاً

• 1

  المرحلة n تحوي 3ⁿ مثلثاً بطول ضلع ينصّف كل مرة

• 2

  المحيط يتجه لما لا نهاية والمساحة للصفر — بصمة الكسورية

• 3

  البعد log3/log2 ≈ 1.585

• عدّ 2ⁿ قطعة — كل انقسام يلد ثلاثة لا اثنين

• القول بأن المساحة تتلاشى في مرحلة منتهية؛ الصفر للحد فقط

• استخدام البعد 2 — الشكل بين الخط والمستوى بدقة

• نسيان أن معامل المحيط 3/2 لا 3