حل المعادلة التكعيبية – جذور ax³+bx²+cx+d

للتكعيبية جذر حقيقي واحد على الأقل دائماً، وهذا الحلال يجد الثلاثة. للمعادلة x³ − 6x² + 11x − 6 = 0 يجرب البحثُ النسبي قواسم 6: فالعدد x = 1 ينجح (1−6+11−6 = 0)، والقسمة الاصطناعية تترك x² − 5x + 6 = (x−2)(x−3) فيكون الجذور 1 و2 و3. وعلاقات فييتا تؤكد فوراً: المجموع 6 = −b/a ✓ ومجموع الأزواج 11 = c/a ✓ والجداء 6 = −d/a ✓. وللحالات غير القابلة للتحليل يسلك الحلال مسار كاردانو — يكبت التكعيبية بالتعويض x = t − b/(3a) ثم يحل t³ + pt + q = 0 — ويعلن المميز Δ = 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d²: فالإيجابي ثلاثة جذور حقيقية مختلفة والصفري جذراً مكرراً والسالب حقيقياً وزوجاً مركباً.

1. 1

   أدخل a وb وc وd

   معاملات ax³ + bx² + cx + d = 0

2. 2

   جرب الجذور النسبية

   تُجرب قواسم d/a مع عرض التعويض

3. 3

   فكك وحل

   القسمة الاصطناعية تترك تربيعية تُحل بدقة

4. 4

   تحقق بفييتا

   فحوص المجموع والأزواج والجداء تؤكد مجموعة الجذور

• 1

  كل تكعيبية لها جذر حقيقي واحد على الأقل

• 2

  المرشحون النسبيون: ± قواسم الثابت على الرئيسي

• 3

  فحوص فييتا تمسك أخطاء النقل بثوانٍ

• إسقاط جذر بعد الخطوة التربيعية — فالثلاثة موجودة (مع التكرار)

• أخطاء إشارة في القسمة الاصطناعية

• تطبيق القانون التربيعي على التكعيبية قبل كبثها

• نسيان أن المركبة تأتي زوجاً مرافقاً