رونغ-كوتا RK4 – حل المعادلات التفاضلية

يوازن RK4 أربع قياسات ميل داخل كل خطوة — عند الحافة اليسرى ومرتين عند المنتصف وعند اليمنى — بأوزان 1:2:2:1. للمعادلة الاختبارية y′ = y مع y(0) = 1 وh = 0.1: الميول الأربعة k₁ = 1 وk₂ = 1.05 وk₃ = 1.0525 وk₄ = 1.10525 فتعطي y(0.1) = 1 + (0.1/6)(1 + 2.1 + 2.105 + 1.10525) = 1.1051702. والحل الدقيق e⁰·¹ = 1.1051709 يختلف في الرقم السابع فقط — فخطأ RK4 المحلي من رتبة h⁵. وأويلر على الخطوة نفسها يعيد 1.1 بخطأ 0.005. وتطبع الحاسبة كل k والتحديث الموزون وجدول الخطوات والخطأ الشامل مقابل الحلول المعروفة (الأسية والتحلل واللوجستية).

1. 1

   أدخل f(x, y) والشروط البدئية

   طرف المعادلة الأيمن مع x₀ وy₀

2. 2

   اضبط h والهدف

   مثل h = 0.1 حتى x = 1

3. 3

   احسب الميول الأربعة

   تُسرد k₁…k₄ لكل خطوة

4. 4

   تقدم وأبلغ الخطأ

   يظهر التحديث الموزون والمقارنة بالحل الدقيق

• 1

  خطأ محلي O(h⁵) وشامل O(h⁴) — نصّف h يقسم الخطأ 16

• 2

  الأوزان 1:2:2:1 على عينات الميل الأربع

• 3

  خطوة RK4 واحدة تغلب عشر خطوات أويلر غالباً

• تقييم الميول الأربعة كلها عند الحافة اليسرى بدول تدرجها

• استخدام أوزان 1:1:1:1 — انهيار إلى متوسط خشن

• الظن بأن RK4 يجيد المعادلات المتصلبة؛ تلزم الطرائق الضمنية

• تخطي فحص الخطأ مقابل حل معروف أثناء التطوير