متتالية لوكاس – الحدود والمجاميع

أعداد لوكاس تخضع لعلاقة فيبوناتشي نفسها لكن من بذور 2 و1: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, … فيكون L₇ = 29 وL₁₀ = 123. تولّد الحاسبة أي حد أو مدى مع عرض الجمع، والنسب L(n)/L(n−1) — 123/76 ≈ 1.61842 — تقترب من النسبة الذهبية كنسب فيبوناتشي لأن المتتاليتين تحلان المعادلة المميزة نفسها x² = x+1. وتترابط العائلتان: L(n) = F(n−1) + F(n+1) فتحقق L₅ = 11 = F₄+F₆ = 3+8. وصيغة بينيه L(n) = φⁿ + ψⁿ تفسر لماذا يقرّب L(n) قيمة φⁿ: فـ φ¹⁰ ≈ 122.99 ≈ L₁₀ = 123.

1. 1

   اختر رقماً أو مدى

   اطلب L(10) أو الحدود من 0 إلى 12

2. 2

   كرّر من 2, 1

   يُعرض كل جمع متتالٍ

3. 3

   راقب انجراف النسبة

   L(n)/L(n−1) → φ ≈ 1.61803

4. 4

   تحقق من الروابط

   تُفحص L(n) = F(n−1)+F(n+1) على الشاشة

• 1

  العلاقة نفسها كفيبوناتشي — البذور فقط تختلف (2, 1)

• 2

  L(n) = F(n−1) + F(n+1) يجسر العائلتين

• 3

  النسب تقارب φ أيضاً: 123/76 ≈ 1.61842

• بدء لوكاس من 1, 1 — تلك بذور فيبوناتشي

• توقع تطابق L(n) مع F(n)؛ فهما مختلفان (L₁₀ = 123 مقابل F₁₀ = 55)

• نسيان أن L₀ = 2 يزيح كل مؤشر — راجع دائماً 2, 1, 3

• افتراض توافق أنماط القابلية للقسمة مع فيبوناتشي تماماً