متسلسلة تايلور – فك الدوال

متسلسلة تايلور تعيد بناء الدالة من مشتقاتها عند نقطة واحدة. فك eˣ حول 0 (ماكلورين): كل المشتقات 1 فيكون eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + … وعند x = 1 المجموع الجزئي 1+1+0.5 = 2.5 يقل عن e ≈ 2.71828 بمقدار 0.218؛ وإضافة x³/6 (≈0.1667) تصل 2.66667 والسلسلة تطبق عاملياً. وللجيب تعطي x − x³/6 + x⁵/120 قيمة sin(0.3) ≈ 0.2955 مقابل الحقيقية 0.29552 — دقة خمسة أرقام من حدين لأن الحد التالي 0.3⁵/120 ≈ 2×10⁻⁵ يحصر الخطأ (سلسلة متناوبة). تفك الحاسبة الدوال الشائعة حول أي مركز وتطبع الحدود والمجاميع الجزئية وتقدير خطأ القطع، وتنبه على نصف قطر التقارب — فـ ln(1+x) لا تتقارب إلا لـ −1 < x ≤ 1.

1. 1

   اختر دالة ومركزاً

   eˣ حول 0 أو sin x حول π/6 مثلاً

2. 2

   حدد الرتبة

   كم حداً تحتفظ به في كثيرة الحدود

3. 3

   قيّم حداً حداً

   يُسرد كل حد (x−a)ᵏ/عاملي ومجموعه الجزئي

4. 4

   احصر الخطأ

   أول حد مُسقَط يقدّر خطأ القطع

• 1

  ماكلورين = تايلور حول الصفر

• 2

  المقامات العاملية تجعل التقارب سريعاً لـ eˣ وsin

• 3

  أول حد مسقط يحصر خطأ السلاسل المتناوبة

• نسيان القاسم k! في كل حد

• تقييم (x−a)ᵏ كـ xᵏ عندما يكون المركز a ≠ 0

• تجاهل نصف قطر التقارب لـ ln(1+x)

• خلط الإشارات في سلسلة الجيب