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Théorème du binôme – développer (a+b)ⁿ

Quick answer

(a+b)ⁿ=Σ C(n,k)aⁿ⁻ᵏbᵏ : développez (x+2)⁵ = x⁵+10x⁴+40x³+80x²+80x+32 avec la ligne de Pascal 1 5 10 10 5 1 — recherche de terme.

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Binôme de Newton

(a+b)ⁿ = Σ C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ

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Cas d'usage

Développement algébrique

Développez (x+2)⁵ complètement au lieu de multiplier cinq fois

Coefficients spécifiques

Trouvez le terme en x³ de (2x+1)⁷ : C(7,3)·2³ = 280

Fondements des probabilités

Les probabilités binomiales réutilisent les mêmes poids C(n,k)

Conseils

  • 1

    La ligne n du triangle de Pascal liste exactement les coefficients C(n,k)

  • 2

    Le k-ième terme est C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ — aucun développement requis

  • 3

    Somme des coefficients = (1+1)ⁿ = 2ⁿ

Erreurs fréquentes

  • Utiliser les permutations nPr au lieu des combinaisons C(n,k) pour les coefficients

  • Oublier la puissance bᵏ sur le second terme de chaque paire de coefficients

  • Erreurs de signe avec (a−b)ⁿ — les termes k impairs changent de signe

  • S'arrêter un terme trop tôt ; le développement compte n+1 termes

FAQ

Développer (x+2)⁵ ?

x⁵ + 10x⁴ + 40x³ + 80x² + 80x + 32 (coefficients 1,5,10,10,5,1).

Coefficient de x² dans (x+3)⁴ ?

C(4,2)·3² = 6×9 = 54 sans développer.

Rôle du triangle de Pascal ?

La ligne n donne les coefficients : ligne 5 = 1,5,10,10,5,1.

Somme des coefficients de (a+b)⁵ ?

a=b=1 : 2⁵ = 32.

Combien de termes dans (a+b)ⁿ ?

n+1 termes, de k=0 à k=n.

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