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Nombres de Catalan – C(n)

Quick answer

Les Catalan comptent les structures imbriquées : C₅=14 via C(n)=C(2n,n)/(n+1) — série 1, 1, 2, 5, 14, 42… pour polygones et arbres.

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Nombres de Catalan

C(n) = C(2n, n)/(n + 1)

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  3. 3

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Cas d'usage

Informatique

Décomptes d'arbres d'analyse et de séquences valides de parenthèses

Cours de combinatoire

Les triangulations d'un polygone à n+2 côtés sont au nombre de C(n)

Analyse d'algorithmes

Beaucoup de structures récursives croissent comme 4ⁿ/n^1.5 — croissance catalane

Conseils

  • 1

    C(n) = C(2n,n)/(n+1) — une seule division depuis un coefficient binomial

  • 2

    Suite : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, …

  • 3

    Les nombres de Catalan croissent ≈ 4ⁿ, plus lentement que le coefficient binomial central lui-même

Erreurs fréquentes

  • Oublier le diviseur n+1 et donner C(10,5) = 252 pour n = 5

  • Décalage d'indice : un polygone à n+2 côtés utilise C(n)

  • Confondre les nombres de Catalan avec les coefficients binomiaux centraux

  • Supposer C(0) = 0 ; il vaut 1 par convention

FAQ

5e nombre de Catalan ?

C₅ = C(10,5)/6 = 252/6 = 14.

Que comptent-ils ?

14 triangulations d’un heptagone, 14 parenthésages de 6 facteurs, 14 arbres à 5 nœuds.

Les premiers Catalan ?

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862.

La récurrence ?

C(n+1) = Σ C(i)C(n−i) : 42 = 14+5+4+5+14.

Leur croissance ?

Environ 4ⁿ/n^1,5 : C(10) = 16796.

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